阶乘

2024-04-09 02:01| 来源: 网络整理| 查看: 265

在数学中，正整数的阶乘（英语：Factorial）是所有小于等于该数的正整数的积，计为 n ! {\displaystyle n!} ，例如5的阶乘表示为 5 ! {\displaystyle 5!} ，其值为120：

5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 {\displaystyle 5!={{{{{5}\times {4}}\times {3}}\times {2}}\times {1}}=120}

并定义，1的阶乘 1 ! {\displaystyle 1!} 和0的阶乘 0 ! {\displaystyle 0!} 都为1，其中0的阶乘表示一个空积[2]。

实数范围内的阶乘函数，负整数除外[注 1]

1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法： n ! = ∏ k = 1 n k ∀ n ≥ 1 {\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\quad \forall n\geq 1} ，符号 Π {\displaystyle \Pi } 表示连续乘积，亦即 n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n {\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n} 。阶乘亦可以递归方式定义： 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} ， n ! = ( n − 1 ) ! × n {\displaystyle n!=(n-1)!\times n} 。除了自然数之外，阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：

z ! = Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}

阶乘应用在许多数学领域中，最常应用在组合学、代数学和数学分析中。在组合学中，阶乘代表的意义为 n {\displaystyle n} 个相异对象任意排列的数量，例如前述例子， 5 ! = 120 {\displaystyle 5!=120} 其代表了5个相异对象共有120种排列法。在正整数的情形下， n {\displaystyle n} 的阶乘又可以称为n的排列数。

目录 1 历史 2 定义 2.1 0的阶乘 3 性质 4 计算 5 部分函数值 6 非正整数的阶乘 6.1 '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"'函数和'"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"'函数 6.2 复数的阶乘 6.3 负整数的阶乘 6.4 其他数学结构的阶乘 7 变化 7.1 定义扩展 7.2 递进/递降阶乘 7.3 双阶乘 7.4 广义的双阶乘 7.5 多重阶乘 7.6 广义的多重阶乘 7.7 四次阶乘 7.8 hyper阶乘 7.9 超阶乘 7.9.1 另一种定义 7.10 素数阶乘 7.11 自然数阶幂 7.12 倒数阶乘 8 符号史 9 参见 10 注释 11 参考文献历史

早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的纪录[3]。1677年时，法比安·斯特德曼使用Change ringing（英语：Change ringing）来解释阶乘的概念[5]。在描述递归方法之后，斯特德将阶乘描述为：“现在这些方法的本质是这样的：一个数字的变化数包含了所有比他小的数字（包括本身）的所有变化数……因为一个数字的完全变化数是将较小数字的变化数视为一个整体，并透过将所有数字的完整变化联合起来。”，其原文如下：

Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends [includes] the changes on all lesser numbers ... insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body.[6]

而符号n!是由法国数学家克里斯蒂安·克兰普在1808年使用[8]。

定义

阶乘可透过连乘积来定义：

n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 1 ) ⋅ n , {\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,}

用连乘积符号可表示为：

n ! = ∏ i = 1 n i . ∀ n ≥ 1 {\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.\quad \forall n\geq 1}

从上述公式中，可以推导出递推关系：

n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ! {\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}

但递归定义须给出base case，因此需要定义零的阶乘。除此之外，递推关系在阶乘函数中各个值皆成立，例如：

5 ! = 5 ⋅ 4 ! 6 ! = 6 ⋅ 5 ! 50 ! = 50 ⋅ 49 ! {\displaystyle {\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\end{aligned}}} 0的阶乘

为了将递推关系扩展到 n = 0 {\displaystyle n=0} ，因此需要定义0的阶乘：

0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1}

可以得到：

1 ! = 1 ⋅ 0 ! = 1 {\displaystyle 1!=1\cdot 0!=1}

有几个独立的理由认为这个定义是和谐的。其中包括：

在 n = 0 {\displaystyle n=0} 的情况， n ! {\displaystyle n!} 定义为“没有任何数字相乘的结果”，所以更广泛之惯例的例子是以不存在任何约数的乘法单位元来当作其解。（参阅空积）对于零个物品只有一种排列方式，因为没有任何东西可以排列，唯一的重新排列就是什么都不做。它使组合数学中的许多恒等式对所有适用的值皆有效，例如从空集合中选择0个元素的方法数，可由二项式系数给出： ( 0 0 ) = 1 {\displaystyle {\binom {0}{0}}=1} . 而从空集合中选择0个元素的方法数为一种，即没有任何东西可以取，唯一的取法就是什么都不做。定义 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} 可以满足： ( 0 0 ) = 0 ! 0 ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!0!}}=1} . 更一般地，在 n {\displaystyle n} 个相异元素的集合中取出 n {\displaystyle n} 个相异元素的方法数，可由二项式系数给出： ( n n ) = 1 {\displaystyle {\binom {n}{n}}=1} . 其方法数只有一种，即全部取出。定义 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} 可以满足： ( n n ) = n ! n ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!0!}}=1} 此定义允许将许多公式更严谨地表达为幂级数，例如指数函数： e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.} 性质

n ! {\displaystyle n!} 可素因子分解为 ∏ p ≤ n p ∑ r = 1 n [ n p r ] {\displaystyle \prod _{p\leq n}p^{\sum _{r=1}^{n}[{\frac {n}{p^{r}}}]}} ，如 6 ! = 2 4 × 3 2 × 5 1 {\displaystyle 6!=2^{4}\times 3^{2}\times 5^{1}} 。[9]

计算阶乘与斯特灵公式 n ! {\displaystyle n!} （蓝色）、 2 π n ( n e ) n {\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} （橘色），数字越大 2 π n ( n e ) n , {\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},} 会越趋近 n ! {\displaystyle n!} 。但 2 π n ( n e ) n {\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} 在负值则会因为出现虚数而无法使用。

计算 n ! {\displaystyle n!} 时，若 n {\displaystyle n} 不太大，普通的科学计算机都可以计算，能够处理不超过 10 100 {\displaystyle 10^{100}} （古高尔）数值的计算机可以计算至 69 ! {\displaystyle 69!} ，而双精度浮点数的计算机则可计算至 170 ! {\displaystyle 170!} 。

当 n {\displaystyle n} 很大时，可用斯特林公式估计： n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} 更精确的估计是： n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}} 其中 1 12 n + 1 10^(10^50). ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 （日语） 142.D ^ Finch, S. R. "Fransén-Robinson Constant." §4.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 262-264, 2003.

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